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素養命題_數學領域_疫情議題中的數學

2022-05-26
2023-11-09

疫情議題中的數學

引言

新型冠狀病毒肺炎(COVID-19)可說是近年來最受人矚目的議題!因為疫情的肆虐,世界各地人們過往習以為常的生活型態被徹底翻轉;社會中許多經濟活動也一度遭打擊甚至停滯;各國的醫療體系與防疫行動更是面臨了莫大的挑戰!

在疫情盛行的期間,根據《Collins Dictionary》統計指出,2020年度最佳詞彙清單上許多上榜的字詞都與這次爆發的疫情相關,像是「社交距離」(social distancing)、「封城」(lockdown)、「自我隔離」(self-isolate)等皆為代表,也時常融入在我們日常生活的談話之中。而許多醫藥衛生專業人員所知的生物統計學名詞,亦隨著新聞媒體的播報以及社群論壇的討論使大家耳熟能詳。不過這些詞彙常常經過了公共衛生領域相關的專業知識包裝,多數媒體往往只選擇了最後計算完成的結果呈現給民眾,讓一般民眾對於這些名詞大多停在「霧裡看花」的階段。不知其所以然的狀態下,往往使一般民眾無法判斷該項數據背後所隱含的各項變因之於疫情的意義或甚至因此被過於誇示的資訊給欺騙。

本文將以淺顯易懂的方式拆解疫情話題中常出現的「術語」,帶領讀者從數學形成與詮釋的角度再次認識它們!


快篩?PCR?陰性就是安全了?

在對抗疫情的過程中,「篩檢」可說是扮演著舉足輕重的角色!疫情嚴峻時,許多人會因為有重疊確診足跡或住在疫情熱區而去接受篩檢;疫情趨緩時,人們又會為了平安地恢復正常作息被要求進行篩檢。但礙於醫療資源的有限,許多人選擇簡易便利的快篩試劑。然而,新聞中卻不時傳出許多確診者做完快篩安全過關後數日竟然「陰轉陽」爆出確診!關於快篩的準確度不禁使人議論紛紛,現在我們從數學「比率」的觀點來認識篩劑,或許能更理性端看這類事情。


針對上述明明有病毒卻驗不出陽性,或反之明明沒確診卻呈現陽性的快篩結果,在生物統計學中我們會使用篩檢的「特異性」及「敏感性」說明。詳細說明如下:



實際有染病

實際未染病


篩檢陽性

真陽性(a)

偽陽性(b)

篩檢呈陽性人數

篩檢陰性

偽陰性(c)

真陰性(d)

篩檢呈陰性人數


染病總人數

未染病總人數

總人數


敏感性(Sensitivity):,分母為染病總人數(a+c)、分子為真陽性人數(a),也就是有病被驗出陽性的比例,也稱做真陽性率。

特異性(Specificity):,分母為未染病總人數(b+d)、分子為真陰性人數(d),也就是沒病被驗出陰性的比例,也稱做真陰性率。


由此可知,若使用高敏感性的試劑,偽陰性率低,即測試結果呈陰性時越能排除得病可能;高特異性的試劑,偽陽性率低,即此測試結果呈陽性時越能確認得病可能。理想上,試劑的敏感性與特異性應為100%,所以選擇試劑不妨注意一下上述兩個比率,並依照正確的使用方式。另外,快篩的目的是大量且快速篩出「疑似」陽性個案並加以隔離減少病毒傳播機會,同時盡量正確地排除陰性個案,本應再經過PCR檢測進一步確認,所以下次再聽到「陰轉陽」時就不必過度恐慌囉!


Ct值(Cycle threshold value)越高越安全?

在上一段介紹中,造成「陰轉陽」的原因除了檢測試劑或檢驗方法的不同,也可能會因為各國採取的確診門檻Ct值不同而造成「出境安全過關,入境確診」的窘境。我們也常常聽到某傳播鏈中各案例的Ct值大小。現在我們從數學「指數」的觀點來認識Ct值。

新冠病毒非常微小,必須將特定基因不斷地循環複製才能達到儀器可觀測到訊號的門檻值。定義上來說,病毒在PCR檢驗中循環1次就是1單位Ct值,這過程中病毒每循環一次會一分為二、二分為四,以此類推。因此會形成一個以2為底的指數函數,算式可列為:

複製後病毒總數

因此我們能對Ct值做這樣的解讀:若Ct值較低,代表確診者原始體內病毒濃度高(數量多),進行PCR檢驗時,只要複製少次循環就能觀測到病毒,因此患者傳染力較高;反之Ct值較高,代表體內本身病毒濃度(數量)低,在做PCR檢驗時,必須重複多次循環,才能達到觀測濃度,也代表傳染力低。


總結

數學學科知識本質雖抽象,但卻能被廣泛的應用在日常生活、自然科學、社會現象等複雜的領域,經過數學的協助分析與表徵呈現,總是可以抽絲剝繭找到深層的規律。

面對108課綱中談到的核心素養,教學重點在於讓學生學習對生涯有用的知識與能力來應對未來未知的挑戰,數學科的教學應善用上數學科特性,以現實生活中的議題連結情境脈絡,培養學生從數學觀點考察周遭事物,並發掘問題中的數學意涵、特性與關係,並做到數學推理的過程再放回現實議題詮釋與呈現。



示範例題

(一) 全球新冠疫情資料如下表(資料截至2021/09/28)


總確診數(人)

總死亡數(人)

全球

232,783,704

4,765,498

歐洲

59,141,845

1,224,061

亞洲

75,507,272

1,122,319

非洲

8,256,838

209,598

北美洲

51,986,412

1,054,069

南美洲

37,712,345

1,153,281

大洋洲

177,406

2,155

請以以上表格回答下列問題


1. 請計算全球新冠肺炎的致死率(四捨五入算至小數點後第三位)


答:約0.020

過程:


2. 呈上題,若只考量五大洲(歐、亞、非、北美、南美、大洋洲)以總確診數多寡來衡量,何洲疫情最嚴重?以致死率的高低來衡量,何洲疫情最嚴重?


答:亞洲;南美洲

過程:,(四捨五入算至小數點後第三位)以亞洲為例

亞洲死亡率

以此類推算出五洲後,南美洲最高


(二) 中央疫情指揮中心4月28日的最新記者會中,陳時中署長分析了目前臺灣的檢驗數據。請根據以下兩張圖表資料,回答問題。

(資料參考:中央疫情指揮中心)


1. 根據以上資料,武漢肺炎盛行率百分比為多少?


答:0.18%


2. 假設,對10000萬人進行普篩,若普篩後,有一人檢驗呈陽性,真正患病的機率有多高?(請無條件捨去到小數點以下第一位)


答:12.2%

過程:


3. 承上,若普篩後,有一人檢驗呈陰性,沒有患病的機率有多高?(請無條件捨去到小數點以下第一位)


答:99.9%

過程:


(三) 新冠病毒非常微小,必須將特定基因不斷地循環複製才能達到儀器可觀測到訊號的門檻值。定義上來說,病毒在PCR檢驗中循環1次就是1單位Ct值,這過程中病毒每循環一次會一分為二、二分為四,以此類推。因此會形成一個以2為底的指數函數,算式可列為:

複製後病毒總數


1. 今天某病毒的原始病毒的數量為10,經過循環23次後複製的數量為幾位數?(


答:8位數

過程:設10,對等號兩邊取log

log

Þlog10+

Þ1+23×0.3010=log⁡(n)

Þ7+0.923=log⁡(n)

,可知n8位數


2. 呈上題,若今天欲觀察該病毒PCR檢測門檻值須超過90000才能被儀器檢測到,該病毒Ct值會是多少?(取最小整數解)(log2≈0.3010, log3≈0.4771


答:14

過程:設病毒Ct值為t

可列式10


(四) 有一確診案例某天的足跡為從自家住宅點O,沿著走去早餐店(B點)買早餐原路折返回家,再沿著至學校(A點)上學,已知 AB =300公尺



1. 最少幾長度為幾公尺?


答:600

過程:由餘弦定理得

Þ

Þ

因為xÎR所以D≧0,

Þ

Þ,故最大可能值為600公尺


2. 在該案例確診後,∆OAB被劃為疫情熱區,試問熱區的面積為何?


答:60000π

過程:600×600π÷6=60000π平方公