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素養命題_自然領域(物理)_相對論簡單說─狹義相對論之時間膨脹與長度縮減現象

2022-05-19
2023-11-09

相對論簡單說─狹義相對論之時間膨脹與長度縮減現象

  • 引言 :

    解釋時空關係的相對論,應該是最廣為周知的物理理論了,許多讀者可能也知道,愛因斯坦於1905年首次提出相對論後,震驚當時的科學社群,一開始也遭受了質疑,讀者是否好奇為何會如此呢? 本文將簡單介紹相對論,希望幫助讀者了解愛因斯坦的創見,及當時科學社群震驚的原因。

    19世紀時,科學家確定了光是一種電磁波,連帶證實了牛頓力學和電磁學間的矛盾,在一連串提出解釋矛盾的理論,皆因與實驗不相符而宣告失敗,其中包含了麥克生-莫雷的著名實驗,愛因斯坦提出的狹義相對論,及稍後於1915年初步完成的廣義相對論,成功地解決了矛盾。

  • 狹義相對論的基本假設 :

    本文介紹最早提出的狹義相對論,比起廣義相對論,狹義相對論討論的範疇較狹窄,最典型的應用範疇,是討論「慣性座標系」間物理現象的差異,不牽涉所謂的慣性座標,指的是沒有加速度的座標,例如等速行進的車輛、飛機等等,當然,不動的人也可以說是處在慣性座標的觀測者(若不考慮地球自轉),慣性座標的觀測者,彼此間有相對的速度,卻無相對的加速度。

    在提出狹義相對論時,愛因斯坦提出了2個假設 :

  1. 相對性原理(The principle of relativity) : 物理定律不因參考系(也就是座標)的變換而有不同,這是物理學發展之初,就由伽利略提出的概念,例如動量守恆,不因觀測的座標不同而改變,愛因斯坦繼續沿用這個假設。
  2. 光速不變原理(The principle of invariant light speed) : 真空中的光速,在任何座標上都是不變的,這有違當時物理學時空互相獨立的共識(也和日常生活的感受經驗不同),是相對論的重要觀念。
  • 時間膨脹現象:

    經由愛因斯坦的2個假設,狹義相對論中非常有名的性質—時間膨脹的效應就可以被計算,所謂的時間膨脹,意思是相同的事件,隨著慣性觀測者的座標不同,對於時間的快慢,有不同的感受。

    我們使用一個很經典的例子,說明慣性座標中時間膨脹的現象。假設有一輛車以速度V(對地面)駛過,車頂高度H,某一時刻車中有一道光束,由底部垂直射向車頂,車頂對應的位置裝設有平面鏡,光束擊中車頂後返回,車輛中的乘客,是慣性座標系上保持相同速度行進的車子上的乘客,和路旁坐著休息的路人,觀察到的時間間隔t∆t,會有何不同?


對車上的人而言,光束來回反射的位置,是一樣的,光束折返前後,光走了2H的距離 ,經過的時間t'=光的路程/光速


至於在地面上的觀察者看到光束的軌跡會是哪樣的呢?對於車上的人來說,光束照射後反射到同一個點上,然而對於地面上的人來說,卻不是如此,對地面上的人來說,光束的照射和反射的位置,因為車輛的移動,而有了變化,車輛的速度越快,變化越明顯,實際走的路徑為2R,經過的時間∆t=光的路程/光速,用畢氏定理,可把R換為的組合:

R = 

如此一來,,所以  ∆t=

也就是站在地面上的觀測者看到的時間差,是車上觀測者的倍, 又被稱為勞倫茲因子(Lorentz factor),符號為γ,注意它的分母因為減去了會比分子小,因此γ會大於1,這表示在地面上的觀測者看來,光束發射和折返的時間差會較大,,這即是時間膨脹現象。

  • 長度縮減現象

    確認了時間膨脹現象後,我們就可以藉此推導出狹義相對論第二個現象:長度縮減,長度(距離)隨著慣性觀測者的座標不同,而有了變化。假設這一次車上的鏡子裝設在車子前,車寬L,光束由車尾射出,經車頂反射後返回,車上的乘客,看到光走的路程為,經過的時間 ,而車外的人呢?


首先,我們可以假設車外的人看到的車身長度也是L,然後確認經過的時間是否符合我們剛才算出的時間膨脹公式

車外的人因車輛的速度,去程和回程看到光走的長度不同,去程時因車輛向前,假設經過的時間為t1看到光束的路程會增長為,經過的時間=

當光束反射朝向車尾時,車輛仍繼續向前行駛,但此時光的方向相反,看到的路徑長變為經過時間 =


經過的總時間,如果使用勞倫茲因子 來表示, ,所以,與我們算出的時間膨脹關係式'不相符,這表示車外的觀測者看到的車身長度並不是L,現在假設車外的人看到的長度為L',經過的時間變為,需要符合  ,故 ,因為γ大於1,L'是小於L的,這即是狹義相對論中的長度縮減現象,值得一提的是,之所以稱為「長度」縮減,是因為這樣的現象,發生在慣性座標間有相對速度的那一維,由於車輛是水平移動,所以會發生水平軸,當我們一開始計算時間膨脹時,在車外的人所觀察的路徑中,垂直軸的距離因為座標沒有相對運動,車內外的人,看到的車高都是H。

    結合時間膨脹和長度縮減的現象,最終,愛因斯坦導出了慣性座標間時空的關係,發表了狹義相對論。

  • 相對論之發展

    由於時間膨脹和長度縮減的概念,無法由日常生活的經驗觀察出,狹義相對論發表後,在當時的科學社群引起不小的震盪,但隨後長度緊縮和時間膨脹的現象陸續經由實驗證實,1940年左右,狹義相對論的基本假設以被確立,直至今日,許多頂尖的科學研究成果建立於相對論之上。

  • 小結─高中物理與相對論

    108課綱中,強調了對於科學史的了解,而其內容未納於高中物理課程中,或許是因通盤的理解相對論需要較多的先備知識,然而相對論的提出,除了是近代科學史相當重要的一頁,科學社群質疑、驗證,最終接受的過程,是科學發展中典範轉移的最佳實例,故本文僅以最簡單的例子,說明狹義相對論之現象,使學習高中物理的讀者,可以粗略了解相對論和牛頓力學,及日常生活經驗之差異,進而思考科學社群與科學理論發展之過程,增進對於科學的認識論知識(epistemic knowledge)。




題組一:

相對論提出之前,科學家為了解決牛頓力學和電磁學間的矛盾,假設存在一種絕對靜止的物質「以太」。為了證實以太的存在,麥克森和莫雷二位科學家,於1887年使用了後來被稱為麥克生干涉儀的實驗裝置(如下圖),作為測量以太對光傳播影響的器具。麥克森干涉儀利用分光鏡造出兩條光路,最後匯集至屏幕,在實驗中可以調整動鏡的距離,使得光路產生干涉條紋。光路行徑說明如下(分光鏡至固定鏡距離為L1,分光鏡至動鏡距離為L2,分光鏡至屏幕距離為S)

1. 光源經分光鏡,會有部分反射(光路1)、部分透射(光路2)

2. 光路A:反射光會至固定鏡,接著反射回分光鏡,並透射至屏幕。

3. 光路B:透射光會至動鏡,接著反射回分光鏡,並反射至屏幕。

4. 光路A與光路B最後至屏幕疊加,產生同心圓的干涉條紋。



一分為二的光到達屏幕時,會因L1L2S之距離產生光程差,而麥克生和莫雷欲驗證的事項,乃是若以太相關的推論正確,光行經不動的以太再返回時,還會因地球自轉,進一步增加光程差距。然而,麥克森和莫雷實驗的結果並未成功觀測這樣的現象,經過後續實驗重複的驗證,以太的相關學說被推翻。雖然實驗的目的是為了驗證以太假設,然而失敗的實驗結果,卻促進了狹義相對論的誕生

問題一 :

某次實驗中改變入射光的波長後,干涉條紋會由A變成B,如下圖所示。如下表,若一次改變一個變因,請圈選光的波長與光程差應如何改變,並說明原因。




光的波長

等距二點間光程差

選擇

紅光改藍光

藍光改紅光

增加

減少

解釋



參考解答:


光的波長

等距二點間光程差

選擇

紅光改藍光

藍光改紅光

增加

減少

解釋

 

干涉條紋數量n由多變少,光程差Ds固定,波長l變大,所以由藍光改為紅光

 

干涉條紋數量n由多變少,波長l固定,光程差Ds減少


根據干涉的公式: 

(1)由圖可知干涉條紋數量由多變少,表示n變少,固定波長l,光程差Ds減少

(2)由圖可知干涉條紋數量由多變少,表示n變少,固定光程差Ds,波長l變大,所以由藍光改為紅光


問題二 :

麥克生莫雷之實驗,未能驗證以太的存在,請問他們最終觀察到光路A與光路B的光程差Ds為何?

(A) Ds=ïL1-L2ï

(B) Ds=ïL1+L2-LSï

(C) Ds=2ïL1-L2ï

(D) Ds=2ïL1+L2-LSï

(E) Ds=2ïL1-L2+2LSï


參考解答 : (D)


由上文,麥克生莫雷觀測到的,應只有來自光行走距離不同的光程差:

光路A的光徑長=2L1+LS

光路B的光徑長=2L2+LS

Ds=ï(2L1+LS)-(2L2+LS)ï

 Ds=2ïL1-L2ï

題組二

    由上文可知,狹義相對論可解釋慣性座標系間,時距和長度會因座標改變,造成的相應變化,慣性座標系指的是沒有加速度的,所在的座標。在狹義相對論中,改變座標將會造成時間膨脹和長度縮減,膨脹和縮減的幅度由座標間的相對速度,代入勞倫茲因子決定。


問題一: 下列何者屬於慣性座標?


  1. 等速繞行太陽的地球
  2. 受重力而自由落體的雨滴
  3. 太空中等速行駛的太空船
  4. 距離地球3萬光年遠的行星


參考解答: (C)


  1. 等速率圓周運動不為等速度
  2. 自由落體為加速度
  3. 皆為慣性座標
  4. 行星繞行恆星,不為慣性座標


問題二:承上題,狹義相對論可說明慣性座標間,對於相同事件的時距和長度,會隨著觀測者座標改變,然而在日常生活的情境,我們很少考慮相對論的作用,請推測為何日常生活難以觀測時間膨脹的和長度縮減的原因?


參考解答:日常生活中的物體,相對於光速而言速度過慢,故無法觀測相對論之效應。


當速度相對光速很小時,勞倫茲因子 ,故無法觀測到相對論之效應。